Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（ωx+$\frac{π}{6}$）．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（x）的最小正周期为π，且f（α）=0（α∈（0，$\frac{π}{2}$），求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=cosωx，代值计算可得f（0）的值；
（2）由周期公式可得ω=2，可得cosα的方程，结合α的范围解方程可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（ωx+$\frac{π}{6}$）
=sin$\frac{π}{6}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+cos$\frac{π}{6}$cos（ωx+$\frac{π}{6}$）
=cos（ωx+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cosωx，
∴f（0）的值为cos0=1；
（2）由（1）可得$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
∴f（α）=cos2α=2cos²α-1=0，
结合α∈（0，$\frac{π}{2}$）可解得cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查三角函数的周期性和三角函数公式的应用，属基础题．