Question

16．已知函数f（x）=x²-4x+3，g（x）=mx+5-2m，
（1）求y=f（x）在区间[0，a]（a＞0）上的最小值
（2）若对任意的x₁∈[1，4]，都有x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二次函数的性质，求得f（x）在区间[0，a]（a＞0）上的最小值．
（2）在[1，4]上，求得f（x）∈[-1，3]，再根据g（x）的值域包含[-1，3]，求得m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1 在区间[0，a]上，
故当a≤2 时，$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}-4a+3$；
当a＞2时，f（x）_min=f（2）=-1；∴$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}-4a+3，a∈（{0，2}]}\\{-1，a∈（{2，+∞}）}\end{array}}\right.$．
（2）由已知，在[1，4]上，m≠0，f（x）∈[-1，3]，
当m＞0时，g（x）∈[5-m，2m+5]，$\left\{{\begin{array}{l}{5-m≤-1}\\{2m+5≥3}\end{array}}\right.⇒m≥6$；
当m＜0时，g（x）∈[2m+5，5-m]，由$\left\{{\begin{array}{l}{2m+5≤-1}\\{5-m≥3}\end{array}}\right.⇒m≤-3$，
∴m∈（-∞，-3]∪[6，+∞）．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．