Question

7．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，$f（x）=-\sqrt{x+1}$，则当x∈R时，f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{x+1}，x＞0}\\{0，x=0}\\{\sqrt{-x+1}，x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 要求函数的解析式，已知已有x＞0时的函数解析式，只要根据题意求出x＜0及x=0时的即可，根据奇函数的性质容易得f（0）=0，而x＜0时，由-x＞0及f（-x）=-f（x）可求．

解答 解：设x＜0，则-x＞0
∵当x＞0时，$f（x）=-\sqrt{x+1}$，∴f（-x）=-$\sqrt{-x+1}$
由函数f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-f（-x）=$\sqrt{-x+1}$，x＜0
∵f（0）=0
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{x+1}，x＞0}\\{0，x=0}\\{\sqrt{-x+1}，x＜0}\end{array}\right.$．
故答案为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{x+1}，x＞0}\\{0，x=0}\\{\sqrt{-x+1}，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，解题中要注意函数的定义域是R，不用漏掉对x=0时的考虑．