Question

17．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，
（1）若点A的横坐标是$\frac{3}{5}$，点B的纵坐标是$\frac{12}{13}$，求sin（α+β）的值；
（2）若|AB|=$\frac{3}{2}$，求cos（β-α）的值；
（3）已知点C（-1，3 ），求函数f（α）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$的值域．

Answer 1

分析 （1）通过题意求出A、B点坐标，进而利用两角和的正弦公式计算即可；
（2）通过|AB|=$\frac{3}{2}$，利用$|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{|}^{2}$=$\frac{9}{4}$计算即得结论；
（3）通过设$\overrightarrow{OA}=（cosα，sinα）$，可知f（α）=3sinα-cosα，利用α为锐角即得结论．

解答 解：（1）由题意可得A的坐标为$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，B点坐标$（-\frac{5}{13}，\frac{12}{13}）$，
根据三角函数定义，$sinα=\frac{3}{5}，cosα=\frac{4}{5}，sinβ=\frac{12}{13}，cosβ=-\frac{5}{13}$，
∴$sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）+\frac{4}{5}×\frac{12}{13}=\frac{33}{65}$；
（2）∵|AB|=$\frac{3}{2}$，
∴$|\overrightarrow{AB}{|^2}=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{|^2}={\overrightarrow{OB}^2}+{\overrightarrow{OA}^2}-2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1+1-2cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞=\frac{9}{4}$，
∴$cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞=-\frac{1}{8}$，即$cos（β-α）=-\frac{1}{8}$；
（3）由题意可知，$\overrightarrow{OA}=（cosα，sinα）$，$\overrightarrow{OC}$=（-1，3 ），
∴f（α）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=3sinα-cosα，
又∵α为锐角，
∴-1＜f（α）＜3．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．