Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且S_n=

an(an+1)

2

（n∈N^*），
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=

1

Sn

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2），可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，数列{a_n}的各项均为正数，可得a_n-a_n-1=1（n≥2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=

n(n+1)

2

，bn=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： （Ⅰ）证明：Sn=

an(an+1)

2

(n∈N*)①，
Sn-1=

an-1(an-1+1)

2

(n≥2)②
①-②得：an=

an2+an-an-12-an-1

2

（n≥2），
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
n=1时，a₁=1．
∴数列{a_n}是首项为1公差为1的等差数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得Sn=

n(n+1)

2

，
∴bn=

2

n2+n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．