Question

（2011•盐城模拟）（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁（-4，0），F₂（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF₁、AF₂分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t=3时，求以F₁，F₂为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，记△PRF₁的外接圆为圆C．
①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F₁的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的方程，根据当t=3时，PQ中点为（0，3），所以b=3，利用F₁（-4，0），F₂（4，0），即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）①确定直线AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8，求得P（

t-8

2

，t），Q（

8-t

2

，t），R（4-t，0），利用待定系数法，设△PRF₁的外接圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，进而可确定圆心坐标，即可证得结论；
②由①可得圆C的方程，分离参数，分别令其为0，即可求得定点的坐标．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，当t=3时，PQ中点为（0，3），所以b=3
∵a²-b²=16，∴a²=25
∴椭圆的标准方程为

x2

25

+

y2

9

=1；
（Ⅱ）①证明：直线AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8；
所以可得P（

t-8

2

，t），Q（

8-t

2

，t）
∵直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，∴R（4-t，0）
设△PRF₁的外接圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则

(4-t)2+(4-t)D+F=0 16-4D+F=0 ( t-8 2 )2+t2+ t-8 2 D+tE+F=0

∴

D=t E=4- 7 4 t F=4t-16

∴圆心坐标为(-

t

2

，

7t

8

-2)
∴圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②由①可得圆C的方程为：x²+y²+tx+（4-

7

4

t）y+4t-16=0
整理可得（x²+y²+4y-16）+t（x-

7

4

y+4）=0
∴x²+y²+4y-16=0，且x-

7

4

y+4=0
联立此两方程解得x=

4

13

，y=

32

13

或x=-4，y=0
∴圆C恒过异于点F₁的一个定点，该点的坐标为（

4

13

，

32

13

）．

点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查恒过定点问题，解题的关键是利用待定系数法，分离参数法，属于中档题．