Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，且a_na_n+1+a_n+1-2a_n=0（n∈N₊）．
（1）求a₂、a₃、a₄的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

（1）由题得an+1=

2an

an+1

，又a₁=2，则a2=

2a1

a1+1

=

4

3

，a3=

2a2

a2+1

=

8

7

，
a4=

2a3

a3+1

=

16

15

…
（2）猜想an=

2n

2n-1

．             
证明：①当n=1时，

21

21-1

=2=a1，故命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即ak=

2k

2k-1

则当n=k+1时，ak+1=

2ak

ak+1

=

2• 2k 2k-1

2k 2k-1 +1

=

2k+1

2k+2k-1

=

2k+1

2k+1-1

，
故命题也成立．                     
综上，对一切n∈N₊都有an=

2n

2n-1

成立．