Question

5．如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；
（2）试问在线段EF上是否存在点M，使得MG∥平面AFD，若存在求FM的长并证明，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）在菱形ABEF中，先证AH⊥平面ABCD，可得AH⊥BC；在直角梯形ABCD中，利用勾股定理可证AC⊥CB，即CB⊥平面AHC，从而证明平面AHC⊥平面BCE．
（2）设线段AD的中点为N，可证四边形FMGN是平行四边形，GM∥FN，又FN?平面AFD，可得MG∥平面AFD．

解答 解：（1）证明：在菱形ABEF中，因为∠ABE=60°，
所以△AEF是等边三角形，
又H是线段EF的中点，所以AH⊥EF⇒AH⊥AB，…（1分）
因为平面ABEF⊥平面ABCD，
所以AH⊥平面ABCD，
所以AH⊥BC； …（3分）
在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，
得到：AC=BC=2$\sqrt{2}$，
从而AC²+BC²=AB²，
所以AC⊥CB，
所以CB⊥平面AHC…（5分），
又BC?平面BCE，
所以平面AHC⊥平面BCE．…（7分）
（2）存在，FM=3，
证明：设线段AD的中点为N，
则梯形ABCD中，得到：NG∥AB，NG=3，…（9分）
又FM∥AB，FM=3，
所以FM∥NG，FM=NG，
所以四边形FMGN是平行四边形，
所以GM∥FN，
又FN?平面AFD，MG∥平面AFD，
所以GM∥平面AFD．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．