Question

8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，b=3，c=1，A=2B，求a的值．

Answer 1

分析 利用正弦定理列出关系式，把b=3，∠A=2∠B代入得到关于a与cosB的关系式，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA=cos2B代入得到关于a与cosB的关系式，联立求出a的值即可．

解答 解：∵b=3，A=2B，
∴由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{a}{sin2B}=\frac{3}{sinB}$，即a=6cosB，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9+1-6cosA=10-6cos2B=10-6（2cos²B-1）=16-12cos²B，
把a=6cosB代入得：36cos²B=16-12cos²B，即cos²B=$\frac{1}{3}$，
∵A=2B，∴B为锐角，即cosB＞0，
∴cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则a=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．