Question

【题目】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（-1,1）；（Ⅱ）

【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）设直线AP的斜率为k,

k=，

因为，所以直线AP斜率的取值范围是（-1，1）。

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是

因为|PA|==

|PQ|= =，

所以|PA||PQ|= -（k-1）(k+1)3

令f(k)= -（k-1）(k+1)3，

因为=，

所以 f(k)在区间（-1，）上单调递增，（，1）上单调递减，

因此当k=时，|PA||PQ| 取得最大值.