Question

计算以下定积分：
（1）

∫

2 1

 （2x²-

1

x

）dx；
（2）

∫

3 2

 （

x

+

1

x

）²dx；
（3）

∫

π 3 0

 （sinx-sin2x）dx．

Answer 1

分析：（1）求出被积函数2x²-

1

x

的原函数，将积分的上限、下限代入求值．
（2）先化简被积函数，然后求出被积函数x+

1

x

+2的原函数，将积分的上限、下限代入求值．
（3）先求出sinx-sin2x的原函数，然后利用微积分基本定理，∫_a^bf（x）±g（x）dx=∫_a^bf（x）dx±∫_a^bg（x）dx求出值．

解答：解：（1）

∫

2 1

 （2x²-

1

x

）dx=（

2

3

x³-lnx）

.

2 1

=

16

3

-ln2-

2

3

=

14

3

-ln2．
（2）

∫

3 2

 （

x

+

1

x

）²dx=

∫

3 2

 （x+

1

x

+2）dx
=（

1

2

x²+lnx+2x）

.

3 2

=（

9

2

+ln3+6）-（2+ln2+4）
=ln

3

2

+

9

2

．
（3）

∫

π 3 0

 （sinx-sin2x）dx=（-cosx+

1

2

cos2x）

.

π 3 0

=（-

1

2

-

1

4

）-（-1+

1

2

）=-

1

4

．

点评：本题主要考查了定积分的计算，解决该类问题的关键是求出被积函数的原函数，属于计算题、基础题．