Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点到其两焦点距离之和为4，且过点（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点到其两焦点距离之和为4，根据椭圆的定义，求出a，利用椭圆过点（0，1），求出b，即可求椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-

3

），代入椭圆方程，消去y并整理，利用韦达定理，结合

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，求出k，进而求出|AB|，原点O到直线AB的距离，即可求△AOB的面积．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点到其两焦点距离之和为4，
∴a=2，
∵椭圆过点（0，1），
∴b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1． …（5分）
（Ⅱ）∵直线AB过右焦点（

3

，0），设直线AB的方程为y=k（x-

3

）．
代入椭圆方程，消去y并整理得（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0． （*）
故x₁+x₂=

8 3 k2

4k2+1

，x₁x₂=

12k2-4

4k2+1

．
∴y₁y₂=k（x₁-

3

）•k₂（x-

3

）=

-k2

4k2+1

．
又

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，即

x1x2

4

+y₁y₂=0．
∴

3k2-1

4k2+1

+

-k2

4k2+1

=0，可得k2=

1

2

，即k=±

2

2

．
方程（*）可化为3x2-4

3

x+2=0，
由|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

3 2

•

( 4 3 3 )2-4• 2 3

=2．
∵原点O到直线AB的距离d=

| 3 k|

k2+1

=1．
∴S△AOB=

1

2

|AB|•d=1．          …（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，确定直线AB的斜率是关键．