Question

6．已知函数$f（x）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+a$的图象过点$（\frac{π}{6}，1）$．
（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}+a$，由周期公式可得周期，由图象过点$（\frac{π}{6}，1）$可得a值；
（Ⅱ）由$0≤x≤\frac{π}{2}$和解析式结合三角函数的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得$f（x）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+a$
=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}sin2x}}{2}+a$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}+a$．
∵函数f（x）的图象过点$（\frac{π}{6}，1）$，
∴$f（\frac{π}{6}）=sin（2×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}+a=1$．解得$a=-\frac{1}{2}$．
∴函数f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$．
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
∴当$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$即$x=\frac{π}{2}$时，函数f（x）取最小值$-\frac{1}{2}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．