Question

11．如图，PA⊥平面ABC，PA=$\sqrt{2}$，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC=2，D是PC的中点．
（1）求二面角B-PA-C的大小；
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出BA⊥PA，CA⊥PA，从而∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，由此能求出二面角B-PA-C的大小．
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，连接AE，直线BD与平面ABC所成的角为∠DBE，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，AB?平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．
在△ABC中，∵$AB=1，BC=\sqrt{3}，AC=2$，
∴AB²+BC²=AC²，∴AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，
sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠BAC=60°，
故二面角B-PA-C的大小为60°…（5分）
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，连接AE，
从而结合题意知DE⊥平面ABC，
∴直线BD与平面ABC所成的角为∠DBE，且$tan∠DBE=\frac{DE}{BE}$．
又D是PC的中点，∴$DE=\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$BE=\frac{1}{2}AC=1$，
∴$tan∠DBE=\frac{DE}{BE}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查三面角的大小的求法，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．