Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，数列{$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}$}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）求得数列的首项，将n换为n-1，相减可得a_n=2a_n-1，运用等比数列的通项公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=log₂a_n=n，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证．

解答 解：（I）由S_n+2=2a_n，
当n=1时，a₁+2=2a₁，解得a₁=2；
当n≥2时，S_n-1+2=2a_n-1有a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
所以数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
数列{a_n}的通项公式为a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）证明：由（I）得b_n=log₂2ⁿ=n，
所以T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$
=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n•（n+1）}$
=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查等差数列前n项和与通项公式的应用，裂项求和证明不等式问题，对逻辑推理能力和化归与转化思想都有所考查，难度中等．