Question

7．假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2	4	5	6	7

若由资料知y对x呈线性相关关系．试求：
（1）求$\overline x，\overline y$；
（2）线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（3）估计使用10年时，维修费用是多少？
（参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\bar x}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$）

Answer 1

分析 （1）利用$\overline{x}$，$\overline{y}$的计算公式即可得出．
（2）分别计算：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，$5\overline{x}\overline{y}$.$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$5{\overline{x}}^{2}$，即可得出$\widehat{b}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$，及其$\widehat{y}$的解析式．
（3）代入（2）的解析式即可得出．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5+6}{5}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2+4+5+6+7}{5}$=4.8．
（2）$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=2×2+3×4+4×5+5×6+6×7=108，$5\overline{x}\overline{y}$=5×4×4.8=96．
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$=90，$5{\overline{x}}^{2}$=80，
∴$\widehat{b}$=$\frac{108-96}{90-80}$=1.2，$\widehat{a}$=$\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$=4.8-1.2×4=0，
∴$\widehat{y}$=1.2x．
（3）$当x=10时，\hat y=12$．
答：（1）$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=4.8．
（2）$\widehat{b}$=1.2，$\widehat{a}$=0，$\widehat{y}$=1.2x．
（3）维修费用是12．

点评 本题考查了线性回归方程的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．