Question

19．直线l过抛物线y²=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|=8，求直线l的方程．

Answer 1

分析 求出抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），通过若l与x轴垂直，求出|AB，设所求直线l的方程为y=k（x-1）．与抛物线联立，利用韦达定理通过抛物线的性质，求解直线方程即可．

解答 解：∵抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
若l与x轴垂直，则|AB|=4，不符合题意，
∴可设所求直线l的方程为y=k（x-1）．
代入抛物线方程化简可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则由根与系数的关系，得x₁+x₂=$\frac{2k2+4}{k2}$．
又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2k2+4}{k2}$+2=8，
∴$\frac{2k2+4}{k2}$=6，解得k=±1．
∴所求直线l的方程为y+x-1=0或x-y-1=0．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．