Question

12．已知函数f（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）+2sinx．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）=$\frac{1}{3}$，求cos（2x+$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）首先通过恒等变换函数变形成正弦型函数，进一步求出单调区间；
（2）先求出sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{6}$，再根据二倍角公式即可求出答案．

解答 解：（1）函数f（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）+2sinx=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）+2sinx=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈Z；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{3}$，
∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{6}$，
∴cos（2x+$\frac{2π}{3}$）=1-2sin²（x+$\frac{π}{3}$）=1-$\frac{1}{18}$=$\frac{17}{18}$．

点评 本题考查三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，正弦型函数的单调区间的求法．