Question

1．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，BA⊥平面ADEF，DE⊥AF，AF=1，AD=2$\sqrt{2}$．
（1）求异面直线BF与CD所成角的正弦值；
（2）证明：平面CDE⊥平面ABF．

Answer 1

分析 （1）由CD∥AB，得∠FBA就是异面直线BF与CD所成的角，由此能求出异面直线BF与CD所成角的正弦值．
（2）推导出DE⊥BA，DE⊥AF，由此能证明平面CDE⊥平面ABF．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB，…（1分）
∴∠FBA就是异面直线BF与CD所成的角…（2分）
∵BA⊥平面ADEF，AF?平面ADEF，∴BA⊥AF，…（4分）
∵AF=1，$AB=AD=2\sqrt{2}$，
∴在直角△FBA中，$BF=\sqrt{A{B^2}+A{F^2}}=3$…（5分）
∴$sin∠FBA=\frac{AF}{BF}=\frac{1}{3}$，
∴异面直线BF与CD所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．…（6分）
证明：（2）∵BA⊥平面ADEF，DE?平面ADEF，∴DE⊥BA，…（7分）
由已知DE⊥AF…（8分）
∵BA，AF是平面ABF内的两条相交直线，…（9分）
∴DE⊥平面ABF，…（10分）
∵DE?平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABF…（12分）

点评 本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．