Question

10．已知A，B，C三点共线，且满足$\overrightarrow{CA}$=4sinx$\overrightarrow{OB}$+cosx$\overrightarrow{OC}$（O是不同于A，B，C的一点），则cos2x+sin2x=（　　）

• A． $\frac{7}{17}$
• B． $\frac{23}{17}$
• C． -$\frac{23}{17}$
• D． -$\frac{7}{17}$

Answer 1

分析 满足$\overrightarrow{CA}$=4sinx$\overrightarrow{OB}$+cosx$\overrightarrow{OC}$（O是不同于A，B，C的一点），可得：$\overrightarrow{OA}$=4sinx$\overrightarrow{OB}$+（1+cosx）$\overrightarrow{OC}$．由于A，B，C三点共线，可得4sinx+1+cosx=1，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．

解答 解：∵满足$\overrightarrow{CA}$=4sinx$\overrightarrow{OB}$+cosx$\overrightarrow{OC}$（O是不同于A，B，C的一点），
∴$\overrightarrow{OA}$=4sinx$\overrightarrow{OB}$+（1+cosx）$\overrightarrow{OC}$，
∵A，B，C三点共线，
∴4sinx+1+cosx=1，
可得tanx=$-\frac{1}{4}$．
∴cos2x+sin2x=$\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x+2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{1-ta{n}^{2}x+2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{1-（-\frac{1}{4}）^{2}+2×（-\frac{1}{4}）}{（-\frac{1}{4}）^{2}+1}$=$-\frac{7}{17}$．
故选：D．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．