Question

椭圆x²+

y2

4

=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l：y=kx+1与x轴、y轴分别交于两点E，F，交椭圆于两点C，D．
（Ⅰ）若

CE

=

FD

，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线AD，CB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

4x2+y2=4 y=kx+1

得（4+k²）x²+2kx-3=0，再由判别式和根与系数的关系可推导出所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（Ⅱ）由题设知y₁²=4（1-x₁²），y₂²=4（1-x₂²），由此推出3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，所以3k²-10k+3=0，由此可推导出k的值．

解答：解：（Ⅰ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

4x2+y2=4 y=kx+1

得（4+k²）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（4+k²）=16k²+48，x1+x2=

-2k

4+k2

，x1x2=

-3

4+k2

，（2分）
由已知E(-

1

k

，0)，F(0，1)，
又

CE

=

FD

，所以(-

1

k

-x1，-y1)=(x2，y2-1)（4分）
所以-

1

k

-x1=x2，即x2+x1=-

1

k

，（5分）
所以

-2k

4+k2

=-

1

k

，解得k=±2，（6分）
符合题意，
所以，所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．（7分）
（Ⅱ）k1=

y2

x2+1

，k2=

y1

x1-1

，k₁：k₂=2：1，
所以

y2(x1-1)

y1(x2+1)

=

2

1

，（8分）
平方得

y 2 2 (x1-1)2

y 2 1 (x2+1)2

=4，（9分）
又

x

2 1

+

y 2 1

4

=1，所以y₁²=4（1-x₁²），同理y₂²=4（1-x₂²），代入上式，
计算得

(1-x2)(1-x1)

(1+x1)(1+x2)

=4，即3x₁x₂+5（x₁+x₂）+3=0，（12分）
所以3k²-10k+3=0，解得k=3或k=

1

3

，（13分）
因为

y2(x1-1)

y1(x2+1)

=

2

1

，x₁，x₂∈（-1，1），所以y₁，y₂异号，故舍去k=

1

3

，
所以k=3．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，是历年高考题的重要题型之一，解题时要注意计算能力的培养，注意积累解题方法．