Question

（2012•广州一模）已知椭圆x2+

y2

4

=1的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为

5

的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x₁、x₂，证明：x₁•x₂=1；
（3）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且

PA

•

PB

≤15，求S12-S22的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意设双曲线C的方程，利用双曲线的离心率为

5

，建立等式，从而可求双曲线C的方程；
（2）证法1：设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；
证法2：利用k_AP=k_AT，建立等式，根据点P和点T分别在双曲线和椭圆上，可得方程，代入化简，可得结论；
证法3：设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；
（3）利用

PA

•

PB

≤15，结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1＜x₁≤2，利用三角形的面积公式求面积，从而可得S12-S22的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求S12-S22的取值范围．

解答：（1）解：依题意可得A（-1，0），B（1，0）．…（1分）
设双曲线C的方程为x2-

y2

b2

=1（b＞0），
因为双曲线的离心率为

5

，所以

1+b2

1

=

5

，即b=2．
所以双曲线C的方程为x2-

y2

4

=1．…（3分）
（2）证法1：设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），
则直线AP的方程为y=k（x+1），…（4分）
联立方程组

y=k(x+1) x2+ y2 4 =1.

…（5分）
整理，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
解得x=-1或x=

4-k2

4+k2

．所以x2=

4-k2

4+k2

．…（6分）
同理可得，x1=

4+k2

4-k2

．…（7分）
所以x₁•x₂=1．…（8分）
证法2：设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
则kAP=

y1

x1+1

，kAT=

y2

x2+1

．…（4分）
因为k_AP=k_AT，所以

y1

x1+1

=

y2

x2+1

，即

y12

(x1+1)2

=

y22

(x2+1)2

．…（5分）
因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x12-

y12

4

=1，x22+

y22

4

=1．
即y12=4(x12-1)，y22=4(1-x22)．…（6分）
所以

4(x12-1)

(x1+1)2

=

4(1-x22)

(x2+1)2

，即

x1-1

x1+1

=

1-x2

x2+1

．…（7分）
所以x₁•x₂=1．…（8分）
证法3：设点P（x₁，y₁），直线AP的方程为y=

y1

x1+1

(x+1)，…（4分）
联立方程组

y= y1 x1+1 (x+1) x2+ y2 4 =1.

…（5分）
整理，得[4(x1+1)2+y12]x2+2y12x+y12-4(x1+1)2=0，
解得x=-1或x=

4(x1+1)2-y12

4(x1+1)2+y12

．…（6分）
将y12=4x12-4代入x=

4(x1+1)2-y12

4(x1+1)2+y12

，得x=

1

x1

，即x2=

1

x1

．
所以x₁•x₂=1．…（8分）
（3）解：设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
则

PA

=(-1-x1，-y1)，

PB

=(1-x1，-y1)．
因为

PA

•

PB

≤15，所以(-1-x1)(1-x1)+y12≤15，即x12+y12≤16．…（9分）
因为点P在双曲线上，则x12-

y12

4

=1，所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4．
因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x₁≤2．…（10分）
因为S1=

1

2

|AB||y2|=|y2|，S2=

1

2

|OB||y1|=

1

2

|y1|，
所以S12-S22=y22-

1

4

y12=(4-4x22)-(x12-1)=5-x12-4x22．…（11分）
由（2）知，x₁•x₂=1，即x2=

1

x1

．
设t=x12，则1＜t≤4，S12-S22=5-t-

4

t

．
设f(t)=5-t-

4

t

，则f′(t)=-1+

4

t2

=

(2-t)(2+t)

t2

，
当1＜t＜2时，f'（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，
所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．
因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，
所以当t=4，即x₁=2时，(S12-S22)min=f(4)=0．…（12分）
当t=2，即x1=

2

时，(S12-S22)max=f(2)=1．…（13分）
所以S12-S22的取值范围为[0，1]．…（14分）

点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．