Question

（2012•广州一模）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．
（1）求a的值；
（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；
（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）．

Answer 1

分析：（1）根据甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，建立方程，即可求得a的值；
（2）根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分，进而可求乙组四名同学数学成绩的方差；
（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，求出两名同学成绩之差的绝对值X的所有可能取值，求出相应的概率，从而可得随机变量X的分布列和均值

解答：解：（1）依题意，∵甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同
∴

1

4

×(87+89+96+96)=

1

4

×(87+90+a+93+95)，…（1分）
解得a=3．…（2分）
（2）根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为

.

x

=92．…（3分）
所以乙组四名同学数学成绩的方差为s2=

1

4

[(87-92)2+(93-92)2+(93-92)2+(95-92)2]=9．
…（5分）
（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果．…（6分）
这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表：

	87	89	96	96
87	0	2	9	9
93	6	4	3	3
93	6	4	3	3
95	8	6	1	1

所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9．…（8分）
由表可得P(X=0)=

1

16

，P(X=1)=

2

16

，P(X=2)=

1

16

，P(X=3)=

4

16

，P(X=4)=

2

16

，P(X=6)=

3

16

，P(X=8)=

1

16

，P(X=9)=

2

16

．
所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	6	8	9
P	1 16	2 16	1 16	4 16	2 16	3 16	1 16	2 16

随机变量X的数学期望为EX=0×

1

16

+1×

2

16

+2×

1

16

+3×

4

16

+4×

2

16

+6×

3

16

+8×

1

16

+9×

2

16

=

68

16

=

17

4

．…（12分）

点评：本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．