Question

【题目】如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直， ， ， ．

（I）求证： 平面．

（II）求证： 平面．

（III）求四面体的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）欲证AC⊥平面BDE，只需证明AC垂直平面BDE中的两条相交直线即可，因为AC与BD是正方形ABCD的对角线，所以AC⊥BD，再正DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而BD，DE是平面BDE中的两条相交直线，问题得证．

（2）欲证AC∥平面BEF，只需证明AC平行平面BEF中的一条直线即可，利用中位线的性质证明OG平行DE且等于DE的一半，根据已知AF平行DE且等于DE的一半，所以OG与AF平行且相等，就可得到AC平行FG，而FG为平面BEF中的一条直线，问题得证．

（3）四面体BDEF可以看做以△DEF为底面，以点B为顶点的三棱锥，底面三角形DEF的底边DE=2，高DA=2，三棱锥的高为AB，长度等于2，再代入三棱锥的体积公式即可．

（）因为平面平面， ，

即，所以平面，

因为平面，所以，

因为是正方形，所以， ，所以平面．

（）设，取中点，连接、，如下图：

所以平行且等于，

因为， ，

所以平行且等于，从而四边形是平行四边形，

，因为平面， 平面，所以平面，

即平面．

（）， ，

因此四面体的体积．