Question

15．数列{a_n}满足a_n+1=a_n（a_n-n）+1，n∈N₊．
（1）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并猜想出a_n的一个通项公式（不要求证）
（2）若a₁≥3，用数学归纳法证明：对任意的n=1，2，3，…，都有a_n≥n+2．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接计算a₂，a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．

解答 解：（1）a₂=3，a₃=4，a₄=5，猜想a_n=n+1，
（2）证明：①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k∈N^*）命题成立，则有a_k≥k+2，
当n=k+1时，a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥a_k（k+2-k）+1≥2（k+2）+1=2k+5＞k+3，
所以，当n=k+1时结论成立．
所以由①②可知结论成立．

点评 本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．