Question

5．已知两个关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0和x²-4mx+4m²-4m-5=0（m∈Z），若两方程的根都是整数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据方程根的情况结合二次函数的性质求出m的范围，取交集即可．

解答 解：∵mx²-4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．
又另一方程为x²-4mx+4m²-4m-5=0，且两方程都要有实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}=16（1-m）≥0}\\{{△}_{2}=16{m}^{2}-4（4{m}^{2}-4m-5）≥0}\end{array}\right.$，
解得m∈[-$\frac{5}{4}$，1]----（8分）
∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{m}∈Z}\\{4m∈Z，4{m}^{2}-4m-5∈Z}\end{array}\right.$
∴m为4的约数．又∵m∈[-$\frac{5}{4}$，1]，∴m=-1或1．
当m=-1时，第一个方程x²+4x-4=0的根为非整数；
而当m=1时，两方程的根均为整数，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1．

点评 本题考查了m的取值范围，考查方程根的情况，是一道中档题．