Question

20．对于函数y=f（x），任意x∈R，均有f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，当x∈（0，2]时，f（x）=x．
（1）当x∈（2，4]时，求f（x）的解析式；
（2）若f（m）=1，求m的值；
（3）求和：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）．

Answer 1

分析 （1）先判断函数为周期函数，即可求出f（x）的解析式，
（2）根据函数值，代值计算即可，
（3）由于函数为周期函数，求出一个周期的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）．

解答 解：（1）任意x∈R，均有f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），
∴f（x）是周期为4的周期函数，
设x∈（2，4]时，则x-2∈[0，2]，
∵当x∈（0，2]时，f（x）=x，
∴f（x-2+2）=$\frac{1}{f（x-2）}$=f（x）
∴f（x-2）=$\frac{1}{f（x）}$=x-2，
∴f（x）=$\frac{1}{x-2}$；
（2）∵f（m）=1，
∴m=1，或$\frac{1}{m-2}$=1，
即m=1或m=3，
（3）∵f（2）=2，f（1）=f（3）=1，f（4）=$\frac{1}{2}$
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=$\frac{9}{2}$，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=503×$\frac{9}{2}$+f（1）+f（2）+f（3）=$\frac{4535}{2}$．

点评 本题考查了函数的周期性，函数的解析式的求法，以及函数值，周期的应用，属于中档题．