Question

8．（Ⅰ）化简求值：sin10°（1+$\frac{\sqrt{3}}{tan20°}$）；
（Ⅱ）已知sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π），求$\frac{sinθ}{1-tanθ}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切化弦，两角和与差的三角函数化简求解即可．
（Ⅱ）首先把sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，两边平方，然后利用同角正余弦的关系求出2sinθcosθ，进一步求出sinθ+cosθ的值，再分别解出sinθ、cosθ，最后根据弦切互化公式求得tanθ．

解答 解：（Ⅰ）sin10°（1+$\frac{\sqrt{3}}{tan20°}$）
=sin10°$\frac{sin20°+\sqrt{3}cos20°}{sin20°}$
=$\frac{sin20°+\sqrt{3}cos20°}{2cos10°}$
=$\frac{sin20°cos60°+cos20°sin60°}{cos10°}$
=$\frac{sin80°}{cos10°}$
=1；
（Ⅱ）∵sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，①
∴（sinθ-cosθ）²=$\frac{1}{25}$，
∴2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$
由①知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ+cosθ=$\frac{7}{5}$②
由①、②得，sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=$\frac{3}{5}$，
∴tanθ=$\frac{4}{3}$，
$\frac{sinθ}{1-tanθ}$=$\frac{\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{3}}$=-$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，三角函数符号的判断，考查计算能力．