Question

4．已知函数$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$（其中x＞0），g（x）=lnx+x-3，设函数F（x）=f（x-1）g（x+1），且函数F（x）的零点都在区间[a，b]（a＜b，a∈Z，b∈Z）内，则b-a的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 令F（x）=0，即为f（x-1）=0或g（x+1）=0，分别判断函数g（x），f（x）的单调性，判断g（1），g（2）；f（-1），f（0）的符号，结合零点存在定理，即可得到a，b，进而得到最小值．

解答 解：函数F（x）=f（x-1）g（x+1），
可得F（x）=0，即为f（x-1）=0或g（x+1）=0，
由g（x+1）=ln（x+1）+x-2，
可得y=g（x+1）在（0，+∞）递增，
且g（1）=ln1-2=-2＜0，g（2）=ln3＞0，
可得g（x+1）的零点介于（0，1）；
由函数$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$的导数为
f′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹⁵
=$\frac{1-（-x）^{2016}}{1+x}$＞0，可得f（x）在x＞0递增，
且y=f（x-1）递增，由f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2016}$＜0，
f（0）=1＞0，f（1）＞0，f（2）＞0，
介于y=f（x-1）的零点介于（-1，0），
则F（x）的零点都在区间[-1，1]内，
则b-a的最小值为2．
故选：A．

点评 本题考查函数的零点的判断，注意运用转化思想和函数的零点存在定理，考查判断和运算能力，属于中档题．