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    已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+
    c2，a＞0，b＞c＞0。如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
    （1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
    （2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；
    （3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由。

    解：（1）∵，
    ∴，
    于是，
    所求“果圆”方程为。
    （2）由题意，得a+c＞2b，即，
    ，
    ∴，得，
    又，
    ∴，
    （3）设“果圆”的方程为，
    记平行弦的斜率为k，
    当k=0时，直线与半椭圆的交点是，
    与半椭圆的交点是，
    ∴P，Q的中点M（x，y）满足，得，
    ∵a＜2b，
    ∴，
    综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上；
    当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是，
    由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上；
    当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上。
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