Question

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈R，t＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值h（t）；
（Ⅱ）若h（t）＜-2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=t（x+t）²-t³+t-1（x∈R，t＞0），
∴当x=-t时，f（x）取最小值f（-t）=-t³+t-1，
即h（t）=-t³+t-1；
（Ⅱ）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t³+3t-1-m，
由g′（t）=-3t²+3=0得t=1，t=-1（不合题意，舍去）
当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：

t	（0，1）	1	（1，2）
g′（t）	+	0	-
g（t）	递增	极大值1-m	递减

∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）=1-m
h（t）＜-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m＜0
所以m的取值范围为m＞1．