Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数；
（3）若对任意的x∈[1，5]，f（x）＞m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，即可判断；
（2）根据单调性的定义证明步骤，可得结论；
（3）由（2）知：f（x）为[1，5]上的增函数，$f{（x）_{min}}=\frac{1}{3}$，$m＜\frac{1}{3}$，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，
∴f（-x）=f（x），∴f（x）为奇函数．
（2）$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
任取x₁，x₂且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，
又${2^{x_1}}+1＞0$，${2^{x_2}}+1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）为R上的增函数．
（3）由（2）知：f（x）为[1，5]上的增函数，
∴$f{（x）_{min}}=\frac{1}{3}$，∴$m＜\frac{1}{3}$，
∴m的取值范围为$\left\{{m|m＜\frac{1}{3}}\right\}$．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题．