Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=3a_n-1+3^n-1（n≥2），则a_n=n•3^n-1．

Answer 1

分析 由a_n=3a_n-1+3^n-1（n≥2），变形为$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n=3a_n-1+3^n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差数列，首项与公差都为$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n}{3}$，
∴a_n=n•3^n-1．
故答案为：n•3^n-1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．