Question

直线y=x+b与抛物线x²=2y交于A、B两点（异于坐标原点O），且OA⊥OB，则b的值为（　　）

A．2

B．-2

C．1

D．-1

Answer 1

分析：联立直线和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出两个交点的横纵坐标的积，由OA⊥OB转化为其数量积等于0，代入坐标的乘积后求解b的值．

解答：解：联立

y=x+b x2=2y

，得：x²-2x-2b=0．
因为直线y=x+b与抛物线x²=2y交于A、B两点，
则（-2）²-4×（-2b）=4+8b＞0．
且x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b．
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2
=-2b+2b+b²=b²．
由OA⊥OB，得

OA

•

OB

=0．
即x₁x₂+y₁y₂=0，-2b+b²=0，因为b≠0，所以b=2．
满足△=4+8×2=20＞0．
故选A．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了利用数量及判断两个向量的垂直关系，训练了一元二次方程的根与系数的关系，是中档题．