Question

写出下列函数的单调增区间:

（1）y=3sin(2x-)；（2）y=2cos(2x+)；（3）y=log₂［sin(2x+)］.

Answer 1

思路分析:考查正、余弦函数的单调性.（1）设Z=2x-，则y=sinZ在［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上是增函数，即2x-∈［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)由此可写出x的范围；（2）与（1）类似；（3）根据复合函数同增异减的原则进行求解.

解：（1）设Z=2x-，则y=sinZ在［+2kπ, +2kπ］(k∈Z)上是增函数，

即2x-∈［+2kπ, +2kπ］(k∈Z).

由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)，

得+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)，

即+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).

所以，函数y=3sin(2x-)的单调增区间为［+kπ,+kπ］(k∈Z).

（2）由-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z),得+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),

即+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).

所以，函数y=2cos(2x+)的单调增区间为［+kπ,+kπ］(k∈Z).

（3）设u=sin(2x+)，由y=log₂u是增函数,可知y=log₂［sin(2x+)］的增区间就是u=sin(2x+)(u＞0)的增区间.

由y=sinx(y＞0)的图象可知y=sinx(y＞0)的增区间为(2kπ,2kπ+］(k∈Z)，因此，对于u=sin(2x+)(u＞0),有

2kπ＜2x+≤2kπ+ (k∈Z)，即+2kπ≤2x≤2kπ+(k∈Z).

所以+kπ＜x≤kπ+ (k∈Z).

所以，函数y=log₂［sin(2x+)］的单调增区间为(+kπ,kπ+］(k∈Z).

方法归纳 本题的关键在于转化思想的应用，使用了整体换元法.函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，因此，要求函数的单调区间，应首先求函数的定义域.此外，函数的单调区间应写成区间的形式.

误区警示 在求函数的单调区间时，一定要首先求出函数的定义域，然后在函数的定义域内求函数的单调区间，这是一个常被忽略的问题.