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    【题目】已知点P是所在平面外一点，点，，分别是，，的重心.

    （1）求证：平面平面ABC；

    （2）求的值.

    【答案】（1）证明见解析；（2）

    【解析】

    (1) 连接,并延长交BC于点M,连接,并延长交AC于点N,连接,并延长交AB于点Q,连接MN,NQ.再证明与即可.

    (2)根据平行可得边长的比例关系再求解即可.

    （1）证明：如图,连接,并延长交BC于点M,连接,并延长交AC于点N,连接,并延长交AB于点Q,连接MN,NQ.,,分别是,,的重心,,N,Q分别是BC,AC,AB的中点,且,.同理,可得.

    平面ABC,平面ABC,平面ABC.

    同理,可证平面ABC.

    又,

    平面,平面,

    平面平面ABC.

    （2）由（1）知,且,即.,N分别是BC,AC的中点,.,,

    即的值为.

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    （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：

    年入流量

    发电机最多可运行台数

    1

    2

    3

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    土地使用面积（单位：亩）

    管理时间（单位：月）

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    愿意参与管理

    不愿意参与管理

    男性村民

    女性村民

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    参考公式：，参考数据：，，

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    （1） 求证：；

    （2）若，，，求的值，使得 二面角的余弦值的为 .

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