Question

已知圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），从圆M外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）．
（1）求圆M的方程；
（2）试判断点P是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）解法一：设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将三点A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法二：设圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），将三点A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法三：求线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点，可求圆心M的坐标，进而可求圆M的半径，从而可求圆M的方程；
解法四：可判断△ABC是直角三角形，进而可求圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径r=

1

2

|AB|=1，从而可求圆M的方程；
（2）连接PM，根据|PT|=

|PM|2-12

=

(a-2)2+(b-3)2-1

，|PO|=

a2+b2

，利用|PT|=|PO|，可判断点P总在定直线上．

解答：解：（1）解法一：设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，…（1分）
∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴

22+22+2D+2E+F=0 22+42+2D+4E+F=0 32+32+3D+3E+F=0

…（4分）
解得

D=-4 E=-6 F=12

…（7分）
∴圆M的方程为（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法二：设圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），…（1分）
∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴

(2-a)2+(2-b)2=r2 (2-a)2+(4-b)2=r2 (3-a)2+(3-b)2=r2

…（4分）
解得

a=2 b=3 r=1

…（7分）
∴圆M的方程为（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法三：∵A（2，2），B（2，4），
∴线段AB的垂直平分线方程为y=3，…（2分）
∵A（2，2），C（3，3），
∴线段AC的垂直平分线方程为y-

5

2

=-(x-

5

2

)即x+y-5=0，…（4分）
由

y=3 x+y-5=0

解得圆心M的坐标为（2，3）．…（6分）
故圆M的半径r=|AM|=

(2-2)2+(3-2)2

=1．
∴圆M的方程为（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法四：∵|AB|=

(2-2)2+(2-4)2

=2，|AC|=

(2-3)2+(2-3)2

=

2

，|BC|=

(2-3)2+(4-3)2

=

2

，…（2分）
∴|AC|²+|BC|²=4=|AB|²．
∴△ABC是直角三角形．…（4分）
∵圆M经过A，B，C三点，
∴圆M是Rt△ACB的外接圆．…（6分）
∴圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径r=

1

2

|AB|=1．
∴圆M的方程为（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
（2）连接PM，则|PT|=

|PM|2-12

=

(a-2)2+(b-3)2-1

，…（10分）
∵|PO|=

a2+b2

，且|PT|=|PO|，
∴

a2+b2

=

(a-2)2+(b-3)2-1

，…（12分）
化简得2a+3b-6=0．
∴点P总在定直线2x+3y-6=0上．…（14分）

点评：本题主要考查直线和圆等基本知识，考查运算求解能力和抽象概括能力，利用待定系数法，确定圆的方程是解题的关键．