Question

已知圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），从圆M外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）．
（1）求圆M的方程；
（2）试判断点P是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将三点A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法二：设圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），将三点A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法三：求线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点，可求圆心M的坐标，进而可求圆M的半径，从而可求圆M的方程；
解法四：可判断△ABC是直角三角形，进而可求圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径，从而可求圆M的方程；
（2）连接PM，根据，，利用|PT|=|PO|，可判断点P总在定直线上．
解答：解：（1）解法一：设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，…（1分）
∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴…（4分）
解得 …（7分）
∴圆M的方程为（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法二：设圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），…（1分）
∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴…（4分）
解得…（7分）
∴圆M的方程为（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法三：∵A（2，2），B（2，4），
∴线段AB的垂直平分线方程为y=3，…（2分）
∵A（2，2），C（3，3），
∴线段AC的垂直平分线方程为即x+y-5=0，…（4分）
由解得圆心M的坐标为（2，3）．…（6分）
故圆M的半径．
∴圆M的方程为（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
解法四：∵，，，…（2分）
∴|AC|²+|BC|²=4=|AB|²．
∴△ABC是直角三角形．…（4分）
∵圆M经过A，B，C三点，
∴圆M是Rt△ACB的外接圆．…（6分）
∴圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径．
∴圆M的方程为（x-2）²+（y-3）²=1．…（8分）
（2）连接PM，则，…（10分）
∵，且|PT|=|PO|，
∴，…（12分）
化简得2a+3b-6=0．
∴点P总在定直线2x+3y-6=0上．…（14分）
点评：本题主要考查直线和圆等基本知识，考查运算求解能力和抽象概括能力，利用待定系数法，确定圆的方程是解题的关键．