Question

若a，b∈R⁺，且a≠b，在①a²+3ab＞2b；②a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³；③a²+b²＞2（a-b-1）；④

b

a

+

a

b

＞2；⑤若m＞0，则

a

b

＜

a+m

b+m

这五个不等式中，恒成立的有

 

．

Answer 1

分析：①取a=0.1，b=2，则a²+3ab-2b=0.01+0.6-4＜0，即可判断出；
②作差a⁵+b⁵-（a³b²+a²b³）=（a²-b²）（a³-b³），由于函数y=x²，y=x³在x＞0时都是单调递增，又a≠b．
即可得出a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³；
③作差a²+b²-2（a-b-1）=（a-1）²+（b-1）²＞0，（a≠b），即可判断出；
④由于a＞0，b＞0，a≠b，利用基本不等式即可得出．
⑤由于a（b+m）-b（a+m）=m（a-b），a，b∈R⁺，且a≠b，m＞0，可得当a＞b＞0时，a（b+m）-b（a+m）＞0，可得

a

b

＞

a+m

b+m

，即可判断出．

解答：解：①取a=0.1，b=2，则a²+3ab-2b=0.01+0.6-4＜0，∴a²+3ab＜2b，不成立；
②∵a⁵+b⁵-（a³b²+a²b³）=（a²-b²）（a³-b³），由于函数y=x²，y=x³在x＞0时都是单调递增，又a≠b．
∴a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³成立；
③∵a²+b²-2（a-b-1）=（a-1）²+（b-1）²＞0，（a≠b），∴a²+b²＞2（a-b-1）成立；
④∵a＞0，b＞0，a≠b，∴由基本不等式可得

b

a

+

a

b

＞2

b a • a b

=2，因此正确．
⑤∵a（b+m）-b（a+m）=m（a-b），a，b∈R⁺，且a≠b，m＞0，
∴当a＞b＞0时，a（b+m）-b（a+m）＞0，可得

a

b

＞

a+m

b+m

，因此不正确．
综上可知：只有②③④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了不等式的性质、作差法比较两个数的大小、取特殊值否定一个命题等基础知识与基本技能方法，属于基础题．