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    已知函数f（x）=-x3+ax2+1（a∈R）．
    （1）若函数y=f（x）在区间(0，
    2
    3
    )    上递增，在区间[
    2
    3
    ，+∞）上递减，求a的值；
    （2）当x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈（
    3
    2
    ，+∞），求θ的取值范围；
    （3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1（m∈R）的图象与函数y=f（x）的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由．
    分析：（1）求导函数，利用函数y=f（x）在区间(0，
    2
    3
    )    上递增，在区间[
    2
    3
    ，+∞）上递减，可得函数在x=
    2
    3
    处取得极值，即f′（
    2
    3
    ）=0，从而可求a的值；
    （2）求导函数，根据a∈（
    3
    2
    ，+∞），可确定斜率的范围，从而可确定倾斜角θ的取值范围；
    （3）在（1）的条件下，a=1，“要使函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点”即为“方程x2（x2-4x+1m）=0恰有三个不同的实根”．因为x=0是一个根，所以方程x2-4x+1-m=0应有两个非零的不等实根，再用判别式求解．
    解答：解：由于函数f（x）=-x3+ax2+1（a∈R）．
    则导函数f′（x）=-3x2+2ax
    （1）由于函数y=f（x）在区间(0，
    2
    3
    )    上递增，在区间[
    2
    3
    ，+∞）上递减，
    则得函数在x=
    2
    3
    处取得极值，即f′（
    2
    3
    ）=0，
    则-3×(
    2
    3
    )    2+2a×
    2
    3
    =0，解得a=1．
    （2）由于tanθ=f′（x）=-3x2+2ax=-3（x-
    a
    3
    ）2+
    a2
    3
    ，
    ∵a∈（
    3
    2
    ，+∞），∴
    a
    3
    ∈(
    1
    2
    ，+∞)
    ①当
    a
    3
    ∈（
    1
    2
    ，1]，即a∈(
    3
    2
    ，3]    时，f′(x)max=
    a2
    3
    ，f′（x）min=f′（0）=0
    即0≤tanθ≤
    a2
    3

    ②当
    a
    3
    ∈（1，+∞），即a∈（3，+∞），时，f′（x）max=f'（1）=2a-3，f′（x）min=f′（0）=0
    即0≤tanθ≤2a-3
    ∵0≤θ≤π，∴当a∈(
    3
    2
    ，3]    时，θ∈[0，arctan
    a2
    3
    ]；
    当a∈（3，+∞）时，θ的取值范围是[0，arctan（2a-3）]．
    （3）在（1）的条件下，a=1，
    要使函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点，
    等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+（2-m）x2+1，
    即方程x2（x2-4x+1-m）=0恰有三个不同的实根．
    ∵x=0是一个根，
    ∴应使方程x2-4x+1-m=0有两个非零的不等实根，
    由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1
    ∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
    使得函数f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1的图象恰有三个交点．
    点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根与函数的零点间的转化．还考查了计算能力和综合运用知识的能力．
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    π
    4
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    π
    6
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    1
    x
    ）
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    m
    2
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    1
    f(n)
    }    的前n项和为Sn，则S2010的值为（　　）
    A、
    2011
    2012
    B、
    2010
    2011
    C、
    2009
    2010
    D、
    2008
    2009

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    ．

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