Question

如图所示，f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的五个论断：
①若a＞0，对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②若a=-1，-2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根
③函数g（x）的极大值为2a+b，极小值为-2a+b；
④若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
⑤?a∈R，g（x）的导函数g'（x）有两个零点．
其中所有正确结论的序号是

 

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Answer 1

分析：①对于[-c，c]内的任意实数m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，可根据函数的单调性来进行判断；
②由g（x）=0，得到方程f（x）=b，利用图象进行判断．
③函数g（x）的极值如a的符号有关系．
④若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根，由函数的图象及参数的取值范围进行判断．
⑤?a∈R，则由g（x）的极值点的个数，判断导函数g'（x）有多少个零点．

解答：解：①函数f（x）在区间[-1，1]上为增函数，故当a＞0时，g（x）=af（x）+b在[-1，1]上也为增函数
故①正确；
②当a=-1时，-f（x）仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与f（x）相反，若再加b，-2＜b＜0，则图象又向下平移-b个单位长度，所以g（x）=-f（x）+b=0有大于2的实根，所以②正确；
③因为函数f（x）的极大值为f（1）=2，极小值为f（-1）=-2，由于a的符号不确定，所以函数g（x）的极值是不确定的，所以③错误．
④若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根，本题中没有具体限定b的范围，故无法判断g（x）=0有几个根；所以④错误．
⑤?a∈R，由g（x）的极值点有两个，判断导函数g'（x）有2个零点．所以⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是对函数的图象变换的方式与系数的关系以及与所加的常数的关系的理解与运用．