Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

2

2

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过右焦点F作斜率为-

2

2

的直线l交曲线C于M、N两点，且

OM

+

ON

+

OH

=

0

，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），利用

OM

+

ON

+

OH

=

0

，求出H坐标，又点H关于原点O的对称点为点G求出G的坐标，推出线段MN、GH的中垂线方程l₁和l₂，然后求出l₁和l₂的交点为O₁，推出M、G、N、H四点共圆．

解答： （本题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x²+y²=b²，
∵直线x-y+

2

=0与圆相切，∴d=

2

2

=b，即b=1，--------（2分）
又e=

c

a

=

2

2

，及a²=b²+c²，得a²=2，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．-----------（4分）
（Ⅱ）因直线l过点F，且斜率为k=-

2

2

，故有l：y=-

2

2

(x-1)．
联立方程组

x2 2 +y2=1 y=- 2 2 (x-1)

，消去y，得2x²-2x-1=0-----------（6分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得

x1+x2=1 x1x2=- 1 2

，于是

x1+x2=1 y1+y2= 2 2

．
又

OM

+

ON

+

OH

=

0

，得

OH

=(-x1-x2，-y1-y2)即H（-1，-

2

2

）-----------（8分）
而点G与点H关于原点对称，于是，可得点G（1，

2

2

）
若线段MN、GH的中垂线分别为l₁和l₂，kGH=

2

2

，则有
l₁：y-

2

4

=

2

(x-

1

2

)，和l₂：y=-

2

x
联立方程组

y- 2 4 = 2 (x- 1 2 ) y=- 2 x

，解得l₁和l₂的交点为O₁（

1

8

，-

2

8

）-----------（11分）
因此，可算得|O1H|=

( 9 8 )2+( 3 2 8 )2

=

3 11

8

．
|O1M|=

(x1- 1 8 )2+(y1+ 2 8 )2

=

3 11

8

．
所以M、G、N、H四点共圆，且圆心坐标为O₁（

1

8

，-

2

8

），半径为

3 11

8

．-----------（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力．