【题目】△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且2acosB=3b﹣2bcosA.
(1)求 的值;
(2)设AB的中垂线交BC于D,若cos∠ADC= ,b=2,求△ABC的面积.
【答案】
(1)解:∵2acosB=3b﹣2bcosA,
∴2sinAcosB=3sinB﹣2sinBcosA
∴2sin(A+B)=3sinB,则2sinC=3sinB,
由正弦定理得, =
=
(2)解:∵AB的中垂线交BC于D,∴DA=DB,则∠B=∠BAD,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B,
∵cos∠ADC= ,∴cos∠ADC=1﹣2sin2B=
,
解得sinB= ,
由B是锐角得,cosB= =
,
∵在△ABC中,b=2,且 =
,∴c=3,
由余弦定理得,b2=a2+c2﹣2accosB,
∴ ,解得a=4或
,
∵BD= =
>
,∴a=
舍去,
∴△ABC的面积S= =
=
【解析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子,再由正弦定理求出 的值;(2)根据条件和二倍角的余弦公式求出sinB的值,由平方关系求出cosB的值,由余弦定理求出a,由条件进行取舍,代入三角形的面积公式求出△ABC的面积.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握正弦定理:;余弦定理:
;
;
才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)= (a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为0和3.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)的极大值为 ,求函数f(x)在区间[0,5]上的最小值.
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【题目】已知函数满足
.
(1)若的定义域为
,且
对定义域内所有
都成立,求
;
(2)若的定义域为
时,求
的值域;
(3)若的定义域为
,设函数
,当
时,求
的最小值.
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【题目】在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字作答)
(1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法?
(2)四名男生相邻有多少种不同的排法?
(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法?
(4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法?(甲乙丙三位同学身高互不相等)
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【题目】已知椭圆 =1(a>b>0)经过点P(﹣2,0)与点(1,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)过P点作两条互相垂直的直线PA,PB,交椭圆于A,B.
①证明直线AB经过定点;
②求△ABP面积的最大值.
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【题目】设x,y满足约束条件 ,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值M,若M的取值范围是[1,2],则点M(a,b)所经过的区域面积= .
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【题目】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣
(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在
上的最值.
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【题目】设函数f(x)=e|lnx|(e为自然对数的底数).若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是( )
A.x2f(x1)>1
B.x2f(x1)=1
C.x2f(x1)<1
D.x2f(x1)<x1f(x2)
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