Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=1+，不难发现，当a取不同的值时，可以得到不同的数列，例如，当a=1时，得到无穷数列：1，2，，，…；当a=-时，得到有穷数列：-，-1，0。
（1）当a为何值时，a₄=0；
（2）设数列{b_n}满足：b₁=-1，b_n+1=（n∈N*）求证：a取数列{b_n}中的任何一个数，都可得到一个有穷数列{a_n}；
（3）若对任意n∈N*且n≥5，都有＜a_n＜2成立，试求a 的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵
∴，
由a₄=0，得3a+2=0
∴a=-
故当a=-时，a₄=0。
（2）∵b₁=-1，
∴
a取数列{b_n}中的任何一个数，不妨设a=b_n
∵
∴

∴
故a取数列{b_n}中的任何一个数，都可得到一个有穷数列{a_n}。
（3）要使
即使
∴
这表明：要使当且仅当它的前一项满足2
∴
∴只需当时，对n∈N*，且n≥5，必有
∵
由
解得a＞0
故a的取值范围是（0，+∞）。