Question

数列{a_n}是首项a₁=4的等比数列，且S₃，S₂，S₄成等差数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂|a_n|，设T_n为数列{

1

bnbn+1

}的前n项和，若T_n≤λb_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据S₃，S₂，S₄成等差数列建立等式关系，然后可求出公比q，根据等比数列的性质求出通项公式即可；
（2）先求出数列b_n的通项公式，然后利用裂项求和法求出数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n，将λ分离出来得λ≥

Tn

bn+1

，利用基本不等式求出不等式右侧的最大值即可求出所求．

解答：解：（1）∵S₃，S₂，S₄成等差数列
∴2S₂=S₃+S₄即2（a₁+a₂）=2（a₁+a₂+a₃）+a₄
所以a₄=-2a₃
∴q=-2
a_n=a₁q^n-1=（-2）ⁿ⁺¹
（2）b_n=log₂|a_n|=log₂2ⁿ⁺¹=n+1

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

-

1

n+2

λ≥

Tn

bn+1

=

n

2(n+2)2

=

1

2

×

1

n+ 4 n +4

因为n+

4

n

≥4，所以

1

2

×

1

n+ 4 n +4

≤

1

16

所以λ最小值为

1

16

点评：本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．