Question

设O为坐标原点，F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点，若在椭圆上存在点P，满足∠F₁PF₂=60°，|OP|=

3

2

a，则该椭圆的离心率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  3

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：要求椭圆的离心率，即要求a，c的关系，首先由定义和余弦定理得到一个关系，再由中线长公式得到一个关系，联立可得．

解答：解：设|PF₁|=x，|PF₂|=y，则x+y=2a；①
由余弦定理 cos∠F₁PF₂=

PF 12+PF 2 2-F 1F 2 2

2PF 1•PF 2

⇒

1

2

=

x2+y2-4c 2

2xy

；
∴x²+y²-xy=4c²；②
∵中线长公式

OP

=

1

2

（

PF 1

+

PF 2

）
故OP²=

1

4

（PF₁²+PF₂²+2

PF 1

•

PF 2

）
⇒

3a2

4

=

1

4

（x²+y²+2xycos∠F₁PF₂）⇒x²+y²=3a²-xy；③
∴①②③联立代换掉x，y得：a²=4c²；
∴

c

a

=

1

2

．
故选：A．

点评：本题主要考查椭圆的定义，余弦定理及中线长公式，体现了在解题中要灵活运用转化知识．