Question

设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=

10

a，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

• A、x±

  3

  y=0
• B、

  3

  x±y=0
• C、x±

  2

  y=0
• D、

  2

  x±y=0

Answer 1

分析：由题意得

PO

=

PF1 + PF2

2

，平方后利用双曲线的定义求得|PF₁|•|PF₂|=12a²，△PF₁F₂中，由余弦定理求得 c²=4a²，故

b

a

=

3

，可得双曲线的渐近线方程．

解答：解：由题意得 F₁ （-c，0），F₂（c，0），则由题意得

PO

=

PF1 + PF2

2

，
∴

PO

2=10 a²=

PF1 2+  P F2 2+2 PF1 • PF2

4

=

(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|•|PF2|+2•|PF1|•|PF2|cos60°

4

=

4a2+3•|pF1|•|PF2|

4

，
∴|PF₁|•|PF₂|=12a²．
△PF₁F₂中，由余弦定理得  （2c）²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos60° 
=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|=4a²+12a²=16a²．
∴c²=4a²，a²+b²=4a²，∴

b

a

=

3

，故双曲线的渐近线方程为

3

x±y=0，
故选B．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出|PF₁|•|PF₂|=12a² 是解题的难点．