Question

（2013•郑州一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a-c
（I）求 B；
（II）若△ABC的面积为

3

，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理结合sinA=sin（B+C），化简整理得2cosBsinC=sinC，结合sinC＞0解出cosB=

1

2

，从而可得B=

π

3

．
（2）由正弦定理的面积公式，得

1

2

acsinB=

3

，从而解出ac=4，再结合基本不等式求最值和三角形两边之和大于第三边，即可得到b的取值范围．

解答：解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA-sinC，----（2分）
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinC=sinC，
又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=

1

2

，
∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=

π

3

．-----（6分）
（2）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

，B=

π

3

∴

3

4

ac=

3

，解之得ac=4，----（8分）
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）
∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．----（12分）
综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）----（13分）

点评：本题给出三角形的边角关系，求角B的大小，并在已知面积的情况下求边b的取值范围．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式和三角恒等变换等知识，属于中档题．