Question

若定义在R上的函数对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m-2）＜3的解集为

（-∞，

4

3

）

．

Answer 1

分析：根据题意证出f（0）=1，进而证出F（x）=f（x）-1为奇函数．利用函数单调性的定义，结合题中的条件证出  F（x）=f（x）-1是R上的增函数，因此y=f（x）也是R上的增函数．由f（4）=5代入题中等式算出f（2）=3，将原不等式转化为f（3m-2）＜f（2），利用单调性即可求出原不等式的解集．

解答：解：由题意，可得
令x₁=x₂=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1，可得f（0）=1，
令x₁=-x，x₂=x，则f[（-x）+x]=f（-x）+f（x）-1=1，
∴化简得：[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0，
∴记F（x）=f（x）-1，可得F（-x）=-F（x），即F（x）为奇函数．
任取x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，
F（x₁）-F（x₂）=F（x₁）+F（-x₂）=[f（x₁）-1]+[f（-x₂）-1]
=[f（x₁）+f（-x₂）-2]=[f（x₁-x₂）-1]=F（x₁-x₂）
∵当x＞0时f（x）＞1，可得x＞0时，F（x）=f（x）-1＞0，
∴由x₁-x₂＞0，得F（x₁-x₂）＞0，即F（x₁）＞F（x₂）．
∴F（x）=f（x）-1是R上的增函数，因此函数y=f（x）也是R上的增函数．
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1=5，可得f（2）=3．
因此，不等式f（3m-2）＜3化为f（3m-2）＜f（2），
可得3m-2＜2，解之得m＜

4

3

，即原不等式的解集为（-∞，

4

3

）．

点评：本题给出抽象函数满足的条件，求解关于m的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．