Question

【题目】如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣ ， ），∠AOB=α．
（1）求 的值；
（2）设∠AOP=θ（ ≤θ≤ ）， = + ，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（ ﹣ ）2+2S2﹣ ，求f（θ）的最值及此时θ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，tanα═﹣2，

∴ = =﹣

（2）解：由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），

又 = + ，| =|| |，

∴四边形OAQP为菱形，

∴S=2S△OAP=sinθ，

∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），

∴ =（1+cosθ，sinθ），

∴ =1+cosθ，

∴f（θ）=（cosθ+ ）2+2sin2θ﹣ =﹣（cosθ﹣ ）2+2

∵﹣ ≤cosθ≤ ，

∴当cosθ= ，即θ= 时，f（θ）max=2；

当cosθ=﹣ ，即θ= 时，f（θ）min=1

【解析】（1）依题意，可求得tanα=﹣2，将 中的“弦”化“切”即可求得其值；（2）利用向量的数量积的坐标运算可求得f（θ）=（cosθ+ ）2+2sin2θ﹣ =﹣（cosθ﹣ ）2+2，利用﹣ ≤cosθ≤ ，即可求得f（θ）的最值及此时θ的值．